Правила нахождения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса » Стартовая страница - все самое интересное в Интернете на одном сайте.



Главная Девушки 18+ Игры Онлайн ТВ








Правила нахождения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются основными категориями тригонометрии — раздела математики, и неразрывно связаны с определением угла. Владение этой математической наукой требует запоминания и понимания формул и теорем, а также развитого пространственного мышления. Именно поэтому у школьников и студентов тригонометрические вычисления нередко вызывают трудности. Чтобы побороть их, следует подробнее познакомиться с тригонометрическими функциями и формулами.

Понятия в тригонометрии

Чтобы разобраться в базовых понятиях тригонометрии, следует сначала определиться с тем, что такое прямоугольный треугольник и угол в окружности, и почему именно с ними связаны все основные тригонометрические вычисления. Треугольник, в котором один из углов имеет величину 90 градусов, является прямоугольным. Исторически эта фигура часто использовалась людьми в архитектуре, навигации, искусстве, астрономии. Соответственно, изучая и анализируя свойства этой фигуры, люди пришли к вычислению соответствующих соотношений её параметров.

Основные категории, связанные с прямоугольными треугольниками — гипотенуза и катеты. Гипотенуза — сторона треугольника, лежащая против прямого угла. Катеты, соответственно, это остальные две стороны. Сумма углов любых треугольников всегда равна 180 градусам.

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, который не изучается в школе, однако в прикладных науках типа астрономии и геодезии, учёные пользуются именно им. Особенность треугольника в сферической тригонометрии в том, что он всегда имеет сумму углов более 180 градусов.

Углы треугольника

В прямоугольном треугольнике синусом угла является отношение катета, противолежащего искомому углу, к гипотенузе треугольника. Соответственно, косинус — это отношение прилежащего катета и гипотенузы. Оба эти значения всегда имеют величину меньше единицы, так как гипотенуза всегда длиннее катета.

Тангенс угла — величина, равная отношению противолежащего катета к прилежащему катету искомого угла, или же синуса к косинусу. Котангенс, в свою очередь, это отношение прилежащего катета искомого угла к противолежащему кактету. Котангенс угла можно также получить, разделив единицу на значение тангенса.

Единичная окружность

Единичная окружность в геометрии — окружность, радиус которой равен единице. Такая окружность строится в декартовой системе координат, при этом центр окружности совпадает с точкой начала координат, а начальное положение вектора радиуса определено по положительному направлению оси Х (оси абсцисс). Каждая точка окружности имеет две координаты: ХХ и YY, то есть координаты абсцисс и ординат. Выбрав на окружности любую точку в плоскости ХХ, и опустив с неё перпендикуляр на ось абсцисс, получаем прямоугольный треугольник, образованный радиусом до выбранной точки (обозначим её буквой С), перпендикуляром, проведённым до оси Х (точка пересечения обозначается буквой G), а отрезком оси абсцисс между началом координат (точка обозначена буквой А) и точкой пересечения G. Полученный треугольник АСG — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, где AG — гипотенуза, а АС и GC — катеты. Угол между радиусом окружности АС и отрезком оси абсцисс с обозначением AG, определим как α (альфа). Так, cos α = AG/AC. Учитывая, что АС — это радиус единичной окружности, и он равен единице, получится, что cos α=AG. Аналогично, sin α=CG.

Кроме того, зная эти данные, можно определить координату точки С на окружности, так как cos α=AG, а sin α=CG, значит, точка С имеет заданные координаты (cos α;sin α). Зная, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, можно определить, что tg α = y/х, а ctg α = х/y. Рассматривая углы в отрицательной системе координат, можно рассчитать, что значения синуса и косинуса некоторых углов могут быть отрицательными.

Вычисления и основные формулы

Значения тригонометрических функций

Рассмотрев сущность тригонометрических функций через единичную окружность, можно вывести значения этих функций для некоторых углов. Значения перечислены в таблице ниже.

Простейшие тригонометрические тождества

Уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции присутствует неизвестное значение, называются тригонометрическими. Тождества со значением sin х = α, k — любое целое число:

  1. sin х = 0, х = πk.
  2. 2. sin х = 1, х = π/2 + 2πk.
  3. sin х = -1, х = -π/2 + 2πk.
  4. sin х = а, |a| > 1, нет решений.
  5. sin х = а, |a| ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α + πk.

Тождества со значением cos х = а, где k — любое целое число:

  1. cos х = 0, х = π/2 + πk.
  2. cos х = 1, х = 2πk.
  3. cos х = -1, х = π + 2πk.
  4. cos х = а, |a| > 1, нет решений.
  5. cos х = а, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Тождества со значением tg х = а, где k — любое целое число:

  1. tg х = 0, х = π/2 + πk.
  2. tg х = а, х = arctg α + πk.

Тождества со значением ctg х = а, где k — любое целое число:

  1. ctg х = 0, х = π/2 + πk.
  2. ctg х = а, х = arcctg α + πk.

Формулы приведения

Эта категория постоянных формул обозначает методы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента, то есть привести синус, косинус, тангенс и котангенс угла любого значения к соответствующим показателям угла интервала от 0 до 90 градусов для большего удобства вычислений.

Формулы приведения функций для синуса угла выглядят таким образом:

  • sin(900 — α) = α;
  • sin(900 + α) = cos α;
  • sin(1800 — α) = sin α;
  • sin(1800 + α) = -sin α;
  • sin(2700 — α) = -cos α;
  • sin(2700 + α) = -cos α;
  • sin(3600 — α) = -sin α;
  • sin(3600 + α) = sin α.

Для косинуса угла:

  • cos(900 — α) = sin α;
  • cos(900 + α) = -sin α;
  • cos(1800 — α) = -cos α;
  • cos(1800 + α) = -cos α;
  • cos(2700 — α) = -sin α;
  • cos(2700 + α) = sin α;
  • cos(3600 — α) = cos α;
  • cos(3600 + α) = cos α.

Использование вышеуказанных формул возможно при соблюдении двух правил. Во-первых, если угол можно представить как значение (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), значение функции меняется:

  • с sin на cos;
  • с cos на sin;
  • с tg на ctg;
  • с ctg на tg.

Значение функции остаётся неизменным, если угол может быть представлен как (π ± a) или (2π ± a).

Во-вторых, знак приведенной функции не изменяется: если он изначально был положительным, таким и остаётся. Аналогично с отрицательными функциями.

Формулы сложения

Эти формулы выражают величины синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов поворота через их тригонометрические функции. Обычно углы обозначаются как α и β.

Формулы имеют такой вид:

  1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
  2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
  3. tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α * tg β).
  4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Эти формулы справедливы для любых величин углов α и β.

Формулы двойного и тройного угла

Тригонометрические формулы двойного и тройного угла — это формулы, которые связывают функции углов 2α и 3α соответственно, с тригонометрическими функциями угла α. Выводятся из формул сложения:

  1. sin2α = 2sinα*cosα.
  2. cos2α = 1 — 2sin^2 α.
  3. tg2α = 2tgα / (1 — tg^2 α).
  4. sin3α = 3sinα — 4sin^3 α.
  5. cos3α = 4cos^3 α — 3cosα.
  6. tg3α = (3tgα — tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Переход от суммы к произведению

Учитывая, что 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), упростив эту формулу, получаем тождество sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогично sinα — sinβ = 2sin(α — β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα — tgβ = sin(α — β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Переход от произведения к сумме

Эти формулы следуют из тождеств перехода суммы в произведение:

  • sinα * sinβ = 1/2*[cos(α — β) — cos (α + β)];
  • cosα * cosβ = 1/2*[cos(α — β) + cos (α + β)];
  • sinα * cosβ = 1/2*[sin(α + β) + sin (α — β)].

Формулы понижения степени

В этих тождествах квадратную и кубическую степени синуса и косинуса можно выразить через синус и косинус первой степени кратного угла:

  • sin^2 α = (1 — cos2α)/2;
  • cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
  • sin^3 α = (3 * sinα — sin3α)/4;
  • cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
  • sin^4 α = (3 — 4cos2α + cos4α)/8;
  • cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Универсальная подстановка

Формулы универсальной тригонометрической подстановки выражают тригонометрические функции через тангенс половинного угла.

  • sin x = (2tgx/2) * (1 + tg^2 x/2), при этом х = π + 2πn;
  • cos x = (1 — tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
  • tg x = (2tgx/2) / (1 — tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
  • ctg x = (1 — tg^2 x/2) / (2tgx/2), при этом х = π + 2πn.

Частные случаи

Частные случаи простейших тригонометрических уравнений приведены ниже (k — любое целое число).

Частные для синуса:

Значение sin xЗначение x
0πk
1π/2 + 2πk
-1-π/2 + 2πk
1/2π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk
-1/2-π/6 + 2πk или -5π/6 + 2πk
√2/2π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk
-√2/2-π/4 + 2πk или -3π/4 + 2πk
√3/2π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk
-√3/2-π/3 + 2πk или -2π/3 + 2πk

Частные для косинуса:

Значение cos xЗначение х
0π/2 + 2πk
12πk
-12 + 2πk
1/2±π/3 + 2πk
-1/2±2π/3 + 2πk
√2/2±π/4 + 2πk
-√2/2±3π/4 + 2πk
√3/2±π/6 + 2πk
-√3/2±5π/6 + 2πk

Частные для тангенса:

Значение tg xЗначение х
0πk
1π/4 + πk
-1-π/4 + πk
√3/3π/6 + πk
-√3/3-π/6 + πk
√3π/3 + πk
-√3-π/3 + πk

Частные для котангенса:

Значение ctg xЗначение x
0π/2 + πk
1π/4 + πk
-1-π/4 + πk
√3π/6 + πk
-√3-π/3 + πk
√3/3π/3 + πk
-√3/3-π/3 + πk

Теоремы

Теорема синусов

Существует два варианта теоремы — простой и расширенный. Простая теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При этом, a, b, c — стороны треугольника, и α, β, γ — соответственно, противолежащие углы.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В этом тождестве R обозначает радиус круга, в который вписан заданный треугольник.

Теорема косинусов

Тождество отображается таким образом: a^2 = b^2 + c^2 — 2*b*c*cos α. В формуле a, b, c — стороны треугольника, и α — угол, противолежащий стороне а.

Теорема тангенсов

Формула выражает связь между тангенсами двух углов, и длиной сторон, им противолежащих. Стороны обозначены как a, b, c, а соответствующие противолежащие углы — α, β, γ. Формула теоремы тангенсов: (a — b) / (a+b) = tg((α — β)/2) / tg((α + β)/2).

Теорема котангенсов

Связывает радиус вписанной в треугольник окружности с длиной его сторон. Если a, b, c — стороны треугольника, и А, В, С, соответственно, противолежащие им углы, r — радиус вписанной окружности, и p — полупериметр треугольника, справедливы такие тождества:

  • ctg A/2 = (p-a)/r;
  • ctg B/2 = (p-b)/r;
  • ctg C/2 = (p-c)/r.

Прикладное применение

Тригонометрия — не только теоретическая наука, связанная с математическими формулами. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, и многие другие.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные понятия тригонометрии, с помощью которых математически можно выразить соотношения между углами и длинами сторон в треугольнике, и найти искомые величины через тождества, теоремы и правила.

Понравилось? Поделитесь с друзьями!




Последние Новости


Загрузка...